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自然界中的流体方程十分复杂，它们都起源于欧拉方程。为了找到这个方程在特定情况下失效的情况，数学家不得不用上了计算机。有人却觉得他们的证明不够“优雅”。
撰文 | 乔丹娜·切佩列维奇（Jordana Cepelewicz）
翻译｜二七、不周
审校 | 王昱
自然往往才是是最复杂的。午后的微风、池塘表面的涟漪和溅起的水花……这些看似简单的自然现象却给人类带来了巨大的困惑。几个世纪以来，数学家一直试图理解和模拟流体的运动，并将其应用于人类社会的方方面面。那些描述池塘涟漪的方程，也有助于研究者预测天气、设计飞机，以及描述血液如何在体内循环流动。这些方程式看似简单，然而的解法却非常复杂，即使是关于它们的基本问题也很难理解。
250年前，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）给出了最古老也最著名的一组方程，用来描述一种理想的、不可压缩的流体：这种流体没有粘性或内摩擦，也不会在压力下缩小体积。“如今几乎所有的非线性流体方程都是从欧拉方程推导出来的，”杜克大学的数学家塔里克·埃尔金迪（Tarek Elgindi）说，“你可以说它们（欧拉方程）是最早的那组。”
然而，欧拉方程还有很多未知之处，我们甚至还不清楚一个基本的问题：欧拉方程是否始终是理想流体流动的准确模型。流体动力学的核心问题之一，就是欧拉方程是否会失效，输出无意义的值，使它无法精准预测流体的状态。
长期以来，数学家一直怀疑，存在导致欧拉方程崩溃的初始条件。但他们无法证明这一点。
在上个月在线发布于预印本网站的一篇论文中，两位数学家表明，欧拉方程在特定一点有时确实会失效。这个证明标志着一个重大突破——虽然它没有解决欧拉方程是否会失效的问题，但它提供了一个解决的希望。“这是一个惊人的结果，”马里兰大学的数学家特里斯坦·巴克马斯特（Tristan Buckmaster，未参与这项研究）说，“此前从来没有过。”
失效的点只有一个。
这篇证明论文长达 177 页，是长达十年的研究结果，其中大量使用了计算机。因此可能会更难得到其他数学家的确认。不过，这也迫使数学家开始思考“证明”的定义，以及如果解决这些重要问题的唯一方法是借助计算机的帮助，这会意味着什么。
目击野兽
原则上，如果已知流体中每个粒子的位置和速度，那么欧拉方程应该能够预测流体在任意时间的运动状态。但数学家想知道，事实真的是这样吗？也许在某些情况下，欧拉方程的确会按照预期，在任意给定时刻计算出流体状态的精确值，但其中一个值会突然飙升至无穷大。这一时刻被视为欧拉方程的“奇点”。如果用更戏剧化的描述，这时欧拉方程“爆炸”（blow up）了。一旦达到奇点，欧拉方式就无法计算出流体的状态。然而，“就在几年前，数学家距离能‘爆炸’的点还很远，”美国普林斯顿大学（Princeton University）的数学家查理·费弗曼（Charlie Fefferman）说。
通常对具有粘度的流体进行建模（几乎所有现实世界的流体都是如此），总是极具挑战性，因为它会变得非常复杂。美国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）曾发布百万美元的千禧年奖，期待任何人能够证明纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）是否会出现类似故障。其中纳维-斯托克斯方程是欧拉方程的一种推广，多用于解释粘性流体。
2013 年，美国加州理工学院（California Institute of Technology）的数学家托马斯·侯（Thomas Hou）和香港恒生大学的罗果提出了欧拉方程会导致奇点的推论。他们用计算机模拟了圆柱体中的流体运动，其中圆柱体的上半部分的流体会顺时针旋转，而下半部分会逆时针旋转。当模拟程序运行时，他们发现流体内有复杂的微流开始上下移动。当这些复杂的微流与相反方向移动的微流相遇时，圆柱体边界上出现了奇怪的现象：流体的涡度，也就是衡量旋转的量增长得如此之快，看起来好像随时会爆炸一样。
图片来源：Merrill Sherman/Quanta Magazine。翻译：不周
两位数学家的工作极具启发性，但却没能提供真正的证据。那是因为计算机不可能计算出无穷大的值。计算机得到的“爆炸”可以非常接近奇点，但实际上永远无法达到奇点——这意味着求得的解可能非常精确，但它仍然是一个近似值。如果没有数学证明的支撑作为基础，模拟中的一些伪迹可能会导致涡量增加到无穷大。而在涡量回落之前，方程的解可能会增长到极大的数值。
这种逆转以前发生过：模拟表明方程中的一个值“爆炸”了，只有更复杂的计算方法才能显示出其他情况。“这些问题非常微妙，以至于道路上到处都是以前模拟的残骸，”费弗曼说。事实上，侯在这个领域就是这样开始的：他早期的一些结果反驳了假想奇点的形成。
尽管如此，当他和罗发表他们的解决方案时，大多数数学家认为这很可能是一个真正的奇点。“它非常细致、非常精确，”明尼苏达大学的数学家弗拉基米尔·斯韦拉克（Vladimir Sverak） 说。“他们真的竭尽全力证明这是一个真实的场景。”埃尔金迪、斯韦拉克和其他人的后续工作更加坚定了这一信念。
但是一个证据是难以捉摸的。“你已经看到了野兽，”费弗曼说。“试着抓住它。”这意味着侯和罗精心模拟的近似解，在特定的数学意义上，非常非常接近方程的精确解。
现在，在第一次发现奇点九年后，侯和他以前的研究生陈嘉杰终于成功地证明了附近奇点的存在。
自相似的大陆
陈嘉杰后来加入了侯的团队。经过更仔细的分析，他们发现2013年的近似解似乎有一个特殊的结构。方程随着随着时间的推移而演变，它的解也显示出自相似模式：它后来的形状看起来和之前的形状很像，只是以特定的方式重新缩放。
结果，数学家们不需要尝试研究奇点本身。相反，他们可以通过关注更早的时间点来间接研究它。通过以正确的速度放大解的特定部分——根据解的自相似结构确定——他们可以模拟以后会发生什么，包括在奇点本身。
他们花了几年时间才找到与 2013 年的爆炸场景的类似的自相似。（今年早些时候，包括巴克马斯特在内的另一组数学家使用不同的方法找到了类似的近似解。他们目前正在使用该解来开发奇点形成的独立证明。）
有了一个近似的自相似解，侯和陈嘉杰需要证明附近存在一个精确解。在数学上，这等同于证明他们的近似自相似解是稳定的——即使你稍微扰动它，然后从这些扰动值开始演化方程，也没有办法逃脱周围的一个小邻域的近似解。“这就像一个黑洞，”侯说。“如果你从附近的开始演化，你就会被吸进去。”
但制定总体战略只是迈向解决方案的第一步。“挑剔的细节很重要，”费弗曼说。随着侯和陈嘉杰在接下来的几年里研究这些细节，他们发现他们不得不再次依赖计算机——但这次是以一种全新的方式。
混合方法
他们面临的第一个挑战是，弄清楚他们必须证明的确切命题。他们想表明，如果采用任何一组接近其近似解的值，并将其代入方程式，输出就不会偏离太远。但是输入“接近”近似解意味着什么？他们必须在数学命题中对此进行具体说明——但在这种情况下，有很多方法可以定义距离的概念。为了使他们的证明有效，他们需要选择正确的证明。
“它必须测量不同的物理效应，”佐治亚理工学院的数学家拉斐尔·德·拉亚夫（Rafael de la Llave）说。“所以需要根据对问题的理解来选择。”
一旦他们找到了描述“近似度”的正确方法，侯和陈嘉杰就必须证明这个命题，这最终可以归结为一个复杂的不等式，涉及经过缩放的方程和近似解中的项。数学家必须确保所有这些项的值平衡到非常小的一个值：如果最终有一个值偏大，那其他值就只能为负数。
布朗大学的数学家哈维尔·戈麦斯-塞拉诺（Javier Gómez-Serrano）说：“如果你让某项太大或太小，整个方程都会崩溃。所以这是一项非常细心、精细的工作。”
“这是一场非常激烈的战斗，”埃尔金迪补充道。
为了得到这些项所需要的严格界限，侯和陈嘉杰将不等式分成两个主要的部分。他们可以手工处理第一部分，所用的方法可以追溯到18世纪。当时法国数学家加斯帕尔·蒙日（Gaspard Monge）正在寻找一种最佳的运输土壤的方法来为拿破仑的军队建造防御工事。费弗曼说：“以前有人做过这样的事情，但侯和陈嘉杰将它用于此，这让我很吃惊。”
剩下的是不等式的第二部分。解决它需要计算机的辅助。对于初学者来说，需要进行如此多的计算，并且需要如此高的精度，以至于“用纸笔计算所需要的工作量将是惊人的。”德·拉亚夫说。为了平衡各种项，数学家必须执行一系列优化问题，这些问题对计算机来说相对容易，但对人类来说却非常耗时。一些值还取决于近似解的数量；由于这是使用计算机计算的，因此使用计算机执行这些额外计算更为直接。
戈麦斯-塞拉诺说：“如果你尝试手动进行其中一些估算，你可能有时会高估了一点，然后全盘皆输。数字又小又紧密……空闲的余地非常小。”
但是由于计算机无法处理无限多的数字，所以不可避免地会出现微小的错误侯和陈嘉杰必须仔细追踪这些错误，以确保它们不会干扰其余的平衡操作。
最终，他们找到了所有项的界限，完成了证明：方程确实产生了一个奇点。
电脑证明
更复杂的方程——不存在圆柱边界的欧拉方程和纳维-斯托克斯方程——是否能产生奇点，这仍然是一个悬而未决的问题。侯说：“但（这项工作）至少给了我希望，我看到了一条前进的道路，一种甚至可能最终解决整个千年问题的方法。”
与此同时，巴克马斯特和戈麦斯-塞拉诺正在研究他们自己的计算机辅助证明——他们希望这个证明更通用，因此不仅能够解决侯和陈嘉杰解决的问题，还能解决许多其他问题。
这些努力标志着流体动力学领域日益明显的趋势：使用计算机解决重要问题。“在许多不同的数学领域，这种事情越来越频繁。”南加州大学的数学家苏珊·弗里德兰德（Susan Friedlander）说。
但在流体力学中，计算机辅助证明仍然是一种相对较新的技术。事实上，涉及到关于奇点形成的命题时，侯和陈嘉杰的证明是同类中的第一个：以前的计算机辅助证明在该领域中只能解决一些不正式的问题。
普林斯顿大学的彼得·康斯坦丁（Peter Constantin），这样的证据并没有像“品味问题”那么有争议。数学家普遍认为，证明必须使其他数学家相信某些推理是正确的。但是，许多人认为，它还应该提高他们对特定命题为何为真的理解，而不是简单地提供其正确性的验证。康斯坦丁说：“我们是从根本上学到了新东西，还是只是知道了问题的答案？如果你将数学视为一门艺术，那么这在美学上就不那么令人愉悦了。”
“电脑可以提供帮助。太棒了。它能提升我的洞察力。但这并没有让我完全理解，”康斯坦丁补充道。“理解来自我们自身。”
就埃尔金迪而言，他仍然希望完全手工计算出另一种“暴力”证明。“总的来说，我很高兴它的存在，”他谈到侯和陈嘉杰的工作时说。“但我主要把它视为一种动力，让我试图以一种不太依赖计算机的方式来做这件事。”
其他数学家将计算机视为一种重要的新工具，可以解决以前难以解决的问题。陈说：“现在的工作不再局限于纸笔，你可以选择使用更强大的东西。”
根据他和其他人（包括埃尔金迪，尽管他个人更喜欢手写证明）的说法，流体力学中重大问题——即涉及更复杂的方程的问题——有很大概率只能依赖大量计算机辅助才能计算。费弗曼说：“在我看来，不用计算机辅助来尝试证明他们，就好像将一只手或两只手绑在背后一样。”
如果情况确实如此，埃尔金迪表示：“你别无选择，那么人们……比如我这样说这种方法不是最优的人，应该保持沉默。”这也意味着，更多数学家将需要开始学习编写计算机辅助证明所需的技能——侯和陈嘉杰的工作有望激发这一点。巴克马斯特说：“我认为有很多人只是在等有人解决这样的问题，然后才会自己花时间来尝试。”
也就是说，当谈到关于数学家应该在多大程度上依赖计算机的辩论时，“这并不是说你需要选边站，”戈麦斯-塞拉诺说。“（Hou和陈嘉杰的）证明不能没有分析，也不能没有计算机的辅助……我认为价值在于人们可以有两套语言。”
有了这个，德·拉亚夫说：“这确实是一种很新的东西。”
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116
